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    第4章 - 彈性力學廣義變分原理 下載本文

    第4章 彈性力學廣義變分原理

    4.1 兩類變量的廣義勢能原理

    根據前面的介紹,對于最小勢能原理,我們可以有以下兩種理解: (1) 自變函數為位移u。要求u事先滿足位移邊界條件

    u=u,

    B1上 (4.1.1)

    ?內 (4.1.2)

    同時要求u具有足夠的連續(可微)性,從而可以由下式求得應變

    ε?ET(?)u,

    這樣可得到用位移表示的應變能密度函數

    U?U(?)?U(ET(?)u)

    用位移表示的應力

    ?T??U(?)??T(u) ??在此條件下,彈性力學的精確解應該使下面的總勢能取到最小值

    ?(u)????U(ET(?)u)d?????fTud????pTudB

    ??B2這樣,由最小勢能原理可以得到應力表示的平衡方程和應力邊界條件

    E(?)??f?0 E(n)??p

    ?內

    B2上

    (2) 自變函數為位移u和應變?,但把式(4.1.1) 、(4.1.2) 看成約束條件。這樣,把原問題視為在約束條件(4.1.1) 、(4.1.2) 下,使得下列總勢能

    ?(??u)????U(?)d?????fTud????pTudB

    ??B2最小的問題。注意這里總勢能表達式?(?,u)與最小勢能原理中勢能?(u)的差異。

    為了解除最小勢能原理中這兩個約束條件,引進兩個Lagrange乘子函數(向量)

    ?(x)?R6, ?(x)?R3,

    ?內

    B1上

    來構造一個新泛函

    ?*(?,u,?,?)????U(?)d?????fTud????pTudB??B2?????[??E(?)u]d?????(u?u)dB?B1TTT

    在新泛函中, u,?,?,?都是獨立的自變函數,也就是說位移u不需要事先滿足邊界約束條件(4.1.1), 位移u和應變?之間也不需要滿足變形協調條件(4.1.2)。

    新泛函所對應的變分為

    44

    ??*??????B2??U(?)????fT?u???T[??ET(?)u]??T[???ET(?)?u]?d?????TTTB1B1

    ???p?udB?????(u?u)dB?????udB在恒等式(3.2.1)中取???,u??u得到

    TTTT?E(?)?ud??[E(n)?]?udB??[E(?)?]?ud? ?????????B?因此有

    ??*??????B1??U(?)????fT?u???T[??ET(?)u]??T???d????pT?udB????B2B1B??????T(u?u)dB????T?udB???[E(n)?]T?udB????[E(?)?]T?ud????U(?)?T?????????T?????E(?)??f??u???T[??ET(?)u]?d????????TT???[E(n)??p]T?udB??????(u-u)?[??E(n)?]?u???dBB2B1

    由??*?0可以得到

    ?U(?)??T?0, ?? E(?)??f?0,

    ε?ET(?)u?0, ??E(n)??0, u-u?0,

    ?內 ?內 ?內

    B1上 B1上 B2上

    ?內

    E(n)??p?0, 由此得到Lagrange乘子?滿足

    ??T

    ?U(?), ??

    Lagrange乘子?為

    ??U(?)? ??E(n)??E(n)? ?????T

    B1上

    得到Lagrange乘子函數后, 把它們再代入新泛函的表達式中,得到兩類變量(位移和應變)的廣義勢能為

    ?2(??u)????U(?)d?????fTud?????

    ????U(?)[??ET(?)u]d??????pTudB???B2B1T對于線彈性體有U(?)?1?,2?A?U(?)TE(n)(u-u)dB?? (4.1.3)

    ?U(?)??TA,從而 ??45

    TTTT1?*2??2????A?d?????fud??????AE(?)ud?

    ??????pudB????E(n)A??(u-u)dBTB2B1T (4.1.4)

    這是關于位移和應變(兩類變量)的廣義勢能(泛函)。 在該泛函中位移和應變是獨立的自變函數, 不需要滿足位移的邊界條件和變形協調條件,從而使得與變分原理相對應的數值計算在處理某些特殊問題的時候變得更加簡單,更加有效。

    兩類變量的廣義勢能原理(位移和應變) 彈性力學的精確解應該使得廣義勢能?*2(?2)的泛函取駐值。

    下面我們分析一下從該變分原理中能得到什么?計算

    TTT????????E(?)u????A??d????????AE(?)?f???ud?*2TT

    ?????p?udB????E(n)A???udB???(u-u)?E(n)A???dBTTB2B1B1T

    在恒等式(3.2.1)中取??A?,u??u得到

    ?????TAET(?)?ud????[E(n)A?]T?udB?????[E(?)A?]T?ud?

    B?TT因此有

    ?T???*2?????E(?)u???A??d??????E(?)A??f??ud??????pT?udB????E(n)A???udB???(u-u)?E(n)A???dBB2B1B1T

    ???[E(n)A?]T?udBBT?????E?(?)u????A??d??????E(?)A??f??ud???TT

    ???(u-u)?E(n)A???dB???[E(n)A??p]T?udBB1B2?令??*2?0,根據變分引理得到(用應變表示的應力

    ??E(?)u

    TT??U(?)?(A?)T) ??

    ?內

    E(?)A??f?E(?)??f?0 u=u

    ?內

    B1上

    E(n)A??E(n)??p

    B2上

    也就是說得到的是變形協調條件、平衡方程和所有邊界條件。再加上本構關系,就是彈性力學的所有方程。

    T??U(?)?如果用應力????A?來替換泛函(5.1.4)中的自變函數?(??a?),得到 ?????

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    TTT?*(u,?)?1?Ta?d???fud???[a??E(?)u]d?22???????????????pTudB????E(n)??(u-u)dBB2B1TTTTT1???????E(?)u??a??fud??p2??udB????E(n)??(u-u)dB???B2B1TT(4.1.5)

    這是關于位移和應力(包括邊界B1上的約束力p)的兩類變量廣義勢能泛函。上述泛函稱為Hellinger-Reissner泛函,是Hellinger和Reissner分別于1953年和1954年提出來。

    用位移和應力表示兩類變量的廣義勢能原理(Hellinger-Reissner 兩類變量廣義變分原理) 彈性力學的精確解,應使上述廣義勢能的泛函(4.1.5)取駐值。

    下面我們分析一下從該變分原理中能得到什么

    TTTTTT?*?????E(?)?u???E(?)u???a??f?u?2?????d?????p?udB????E(n)???udB????E(n)???(u-u)dBTB2B1B1TT

    在恒等式(3.2.1)中取???,u??u得到

    TTTT?E(?)?ud??[E(n)?]?udB??[E(?)?]?ud? ?????????B?因此有

    TTTTT?*?????[E(?)?]?u???E(?)u???a??f?u?2?????d??????p(u-u)dB???[E(n)??p]?udBB1B2TT

    ?*?0,根據變分引理得到 令??2

    a??E(?)u

    T

    ?內 ?內

    E(?)??f?0 u=u

    B1上

    E(n)??p

    B2上

    也就是說得到的是變形協調條件、平衡方程和所有邊界條件,再結合本構關系,就是彈性力學的所有方程。

    4.2 兩類變量的廣義余能原理

    從前面介紹中我們知道,最小余能原理要求自變函數?事先滿足

    E(?)??f?0, E(n)??p,

    ?內

    B2上

    在此條件下,彈性力學的精確解使得下面的總余能取極小值

    ?(?)?TV(?)d??[E(n)?]udB ??????B1因為要尋找滿足平衡方程和應力邊界條件的自變函數存在一定困難,對自變函數?的

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