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    (整理)4第四章級數 下載本文

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    第四章 級數

    本章先介紹復級數的基本概念及其性質,然后從柯西積分公式這一解析函數的積分表示式出發,給出解析函數的級數表示—泰勒級數及洛朗級數。然后,以它們為工具,進一步研究了解析函數的性質。

    §4.1 復數項級數

    1.復數序列

    給定一列無窮多個有序的復數

    z1?a1?ib1,z2?a2?ib2,…,zn?an?ibn,…

    稱為復數序列,記為{zn}。

    定義4.1.1:給定一個復數序列{zn},設z0為一復常數。若對于任意給定的正數??0,都存在一個充分大的正整數N,使得當n?N時,有

    |zn?z0|??,

    則說當n趨向于??時,{zn}以z0為極限,或者說復數序列{zn}收斂于極限z0,記為

    limzn?z0。

    n??定理4.1.1:給定一個復數序列{zn},其中zn?an?ibn,n?1,2,?,z0?a?ib,則limzn?z0的n??充要條件是 liman?a和limbn?b。 n??n?? ?????定理4.1.2:若limz?n?z,limzn?z,則 n??n???????lim(z?n?zn)?z?z; n???????lim(z?nzn)?zz; n???????????lim(z?n/zn)?z/z,zn?0(n?1,2,?),z?0。 n?? 2.復數項級數

    定義4.1.2:設有復數序列{zn},表達式

    ?zn?1?n?z1?z2???zn?? (4.1.1)

    稱為復數項級數。

    定義4.1.3:若復數項級數(4.1.1)的部分和(也稱為前n項和)序列

    {sn?z1?z2???zn},n?1,2,? 以有限復數s?a?ib為極限,即若

    limsn?s,

    n???則稱復數項級數(4.1.1)是收斂的,并稱s為級數(4.1.1)的和,記為

    ?zn?1n?s;

    若部分和

    {sn?z1?z2???zn},n?1,2,?

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    無有限極限,則稱級數(4.1.1)發散。 定理4.1.3:設zn?an?ibn,n?1,2,?,z?a?ib,則 ???zn?1n收斂于z ? ?an?1n收斂于a,??bn?1n?n收斂于b。 由此可見,則級數收斂的充分必要條件是級數的實部級數定理4.1.4:?an?1和虛部級數

    ?bn?1?n都收斂。

    ?zn?1?n收斂 ? limzn?0。 n??收斂的復數級數有如下性質: (1)?zn?1?n收斂 ? ?M?0,使zn?M (n?1,2,?); n(2)若?zn?1?n?1???s,?z?n?s,則 n?1n??(z???z?; n)??zn??zn?s?s,?czn?c?zn?cs (c為復常數)n?1n?1n?1n?1????(3)若在復級數(4.1.1)中增、刪有限個項,則所得級數與原級數同為收斂或同為發散。 定義4.1.4:若級數

    ?zn?1?n收斂,則稱級數

    ?zn?1?n絕對收斂;非絕對收斂的收斂級數,稱為條件收斂

    級數。

    對于絕對收斂,與定理4.1.1類似,我們有: 補充定理1:設zn?an?ibn,n?1,2,?,級數?zn?1?n絕對收斂的充分必要條件是實數項級數?an?1?n與?bn?1?n都絕對收斂。 定理4.1.5:若級數?zn?1?n收斂,則級數?zn?1?n必收斂(即若級數絕對收斂,則級數收斂);但反之不一定成立。 可見,絕對收斂?收斂,反之不一定。 補充定理2: (1)絕對收斂級數的各項可以重排順序而不致改變其絕對收斂性與和。 (2)兩個絕對收斂的級數????n?1?n?S,??n?L,其柯西乘積 n?1??n?(??n)(??n)??(?1?n??2?n?1????n?1)????k?(n?1)?k n?1n?1n?1n?1k?1也絕對收斂,且其和為S?L。 【注】:上述柯西乘積等式最右邊的式子即是按下述對角線方法作出:

    ?3 … ?2 ?1 ?1 ?1?1 ?1?2 ?1?3 … ?2 ?2?1 ?2?2 ?2?3 … ?3 ?3?1 ?3?2 ?3?3 … … … … … … 精品文檔

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    對于復數項級數,存在類似于實數項級數收斂的充分必要條件: 補充定理3(柯西收斂準則):級數(4.1.1)收斂的充分必要條件是,對于任意給定的??0,存在自然數N,使得當n?N時,有 k?n?1?zn?pk?? 其中p為任意正整數。 3.復變函數項級數

    定義 4.1.5:設復函數序列?fn(z),n?1,2,??的各項均在點集E?C上有定義。若存在一個在E有定義的函數f(z),對E中每一點z,復函數項級數

    ?fn?1?n(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)?? (4.1.2)

    ?均收斂于f(z),則稱級數(4.1.2)在E上收斂,其和函數為f(z),記為

    ?fn?1n(z)?f(z)。

    此定義用精確的語言敘述就是:任給??0,以及給定的z?E,存在正整數N?N(?,z),使當n?N(?,z)時,有

    f(z)?Sn(z)??,

    其中Sn(z)??fk?1nk(z)。

    上述的正整數N?N(?,z),一般地說,不僅依賴于?,而且依賴于z?E。重要的一種情形是N不依賴于z?E,即N?N(?),這就是一致收斂的概念:

    定義4.1.6:對于級數(4.1.2),若在點集E上有函數f(z),使對任意給定的??0,存在正整數

    N?N(?),當n?N時,對所有的z?E,均有

    f(z)?Sn(z)??,

    則稱級數(4.1.2)在E上一致收斂于f(z)。

    補充定理4(柯西一致收斂準則):復函數項級數(4.1.2)在點集E上一致收斂于某函數的充要條件是:任給??0,存在正整數N?N(?),使當n?N時,對一切z?E,均有 k?n?1?fn?pk。 (z)?? (p為任意正整數)由此準則,可得出一致收斂的一個充分條件: 定理4.1.6(Weierstrass M-判別法)(優級數準則):若復函數序列?fn(z)?在點集E上有定義,且存在正數列?Mn?,使對一切z?E,有 fn(z)?Mn (n?1,2,?), 而正項級數?Mn?1?n收斂,則復函數項級數?fn?1?n(z)在集E上絕對收斂且一致收斂。 這樣的正項級數例:級數

    ?Mn?1?n,稱為復函數項級數

    ?fn?1?n(z)的優級數。

    ?zn?0?n?1?z?z2?z3???zn??在閉圓z?r(r?1)上一致收斂。

    證:事實上,所述級數有收斂的優級數精品文檔

    ?rn?0?n。

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    定義4.1.7:設fn(z)(n?1,2,?)在區域D內有定義,若

    ?fn?1?n(z)在含于D內的任意一個有界閉區域

    d上都一致收斂,則稱級數?fn(z)在D內閉一致收斂。

    n?1?顯然,有如下關系: 若若?fn?1n?n(z)在區域D內閉一致收斂,則?fn(z)在D每一點都是收斂的,但不一定在D一致收斂;n?1???fn?1?(z)在D一致收斂,則?fn(z)在D內閉一致收斂。簡要地說就是: n?1一致收斂 ? 內閉一致收斂 ? 每一點收斂 下面是關于函數項級數基本性質的三個定理。 定理4.1.7:若級數?fn?1??n(z)的各項fn(z)(n?1,2,?)在區域D內連續,且?fn(z)一致收斂于n?1?f(z),則其和函數f(z)也在D內處處連續。 定理4.1.8:設級數?fn?1n(z)的各項fn(z)(n?1,2,?)在曲線C上連續,且?fn(z)在C上一致收n?1?斂于f(z),則沿C可以逐項積分: ? Cf(z)dz???fn(z)dz。 n?1C?定理4.1.9(Weierstrass定理):設級數?fn?1?n(z)的各項fn(z)(n?1,2,?)在區域D內解析,且?fn?1?n(z)在D內閉一致收斂于f(z),則 ?(1)f(z)在D內解析; (2)在D內可逐項求任意階導數:f(3)

    (p)(z)??fn(p)(z) (z?D,p?1,2,?); n?1?fn?1?(p)n(z)在D內閉一致收斂于f(p)(z)。 §4.2 冪級數

    1 冪級數的概念

    nn冪級數定義:當fn(z)?cn(z?a)或fn(z)?cnz時,就得到復函數項級數的特殊情況:

    ?cn?0?n(z?a)n?c0?c1(z?a)?c2(z?a)2???cn(z?a)n?? (4.2.1)

    ?

    ?cznn?0n?c0?c1z?c2z2???cnzn?? (4.2.2)

    這種級數稱為冪級數,其中cn及a都是復常數。

    如果在(4.2.1)中令a?0,就得到(4.2.2)。一般地,如果在(4.2.1)中作變換z?a??(變換后把?精品文檔





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